数学研究的对象
--十九世纪数学的变革
近年来，我国数学工作者也对数学研究对象的进行了许多讨论,众说纷纭，莫衷一是，下面我们对原北京大学校长，著名数学家丁石孙先生的观点作一介绍。
直到整个十八世纪，数学所研究的对象是现实问题，没有离开客观世界，由于生活在三维空间中，因此人们认为维数大于三的空间是荒诞的，恩格斯在《反杜林论》中指出：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”这句话对表述直到十八世纪末的数学研究对象是恰当的。
首先是非欧几何的产生，长期以来，Euclid的《几何原本》一直对几何数学起着重大作用，但人们对《几何原本》中的平行公设很不满意（平行公设：两直线和第三条直线相交，如果某一侧的同旁内角之和小于两直角，那么这两条直线在第三条的这一侧相交）。人们觉得这条平行公设不如其它公设明显，企图证明平行公设，但花了相当长的时间和相当大的精力，人们的努力都失败了，1826年，罗巴切夫斯基（ЛОбОчёвский1792—1856）用归谬法证明了平行公设的独立性（即平行公设不可能从其它公设中推导出来），并改变平行公设而得出了与欧氏几何不同的，逻辑上并不矛盾得一种几何理论，创立了非欧几何，1832年鲍耶（1823年在信中最先发现）（J.Bolyai 1802—1860）宣布他也得到了同样得结果。非欧几何创立的意义是十分重大的，它使人们看到，欧氏几何之外还有另外的几何，康德（I Kant 1724—1804）的那种认为欧氏几何是先天的、唯一的现实空间的空间概念破灭了。空间形式—数学的研究对象之一需要重新理解，空间形式远非指欧氏几何的三维空间。星际空间和视觉空间（Visual
space）作为客观存在的现实空间，已经突破了恩格斯关于数学对象中的空间形式，而必须用非欧几何去描述。
非欧几何产生的重大意义还在于使人们认识到：固定不便的公理体系是可以改变的。欧氏几何公理系统中改变第五公设就产生罗巴切夫斯基(ЛОбОчёвский)几何—双曲几何，而这种几何有着十分丰富的意义，这就表明公理系统有很大的任意性，这一点对后来数学的发展、数学思想的演变有十分重大的影响。
第二是抽象代数的产生。我们知道，直到十九世纪初，代数学仍未超出解方程的范围，一次、二次方程的解法早在古巴比仑时代就已经掌握，三次、四次方程的求解，在文艺复兴时代的意大利通过数学家之间的热烈讨论而为塔塔尼亚和卡当所获得，五次或更高次的方程能否象三次、四次方程一样用根式求解呢？这个问题曾使得数学家们奋斗了两个多世纪，终于，1824年，年青的挪威数学家阿贝尔（N.H Abel 1802—1829）证明了五次或五次以上方程一般不可能有根式解，但对某些特殊的方程，如Xn-a=0则可用公式求解。彻底解决这个问题的是年青的法国数学家伽罗瓦（E Galois
1811—1832），他给出了任何一个方程的根能否用其系数经过加、减、乘、除、开方（开n次方）表示出来的充分必要条件.在数学史上，重要的还不是伽罗瓦（E Galois1811—1832）的结论本身，而在于在解决问题过程中引进了群（Group），这一概念，从而出现了一个新的数学分支—群论。群论的出现使代数学从古典代数以方程为中心转变为以研究各种代数结构的性质为中心。1930年，荷兰数学家范德瓦尔登（Van der Waerden）的《代数学》的出版，正式宣告抽象代数的形成，代数理论开始只研究代数运算本身的性质，而不管对之施行运算的对象的具体属性。
十九世纪初代数学领域发生的革命性变化还有四元数的发现与布尔（G.Boole 1815—1864）代数的产生。
1843年10月16日，哈密顿（W.R Hamilton
1805—1865）发现了四元数a+bi+cj+dk(a,b,c,d为实数，i2=j2=k2=1,ij=k,jk=I,ki=j,ik=-j……)，哈密顿的四元数对代数学具有极大的重要性，因为四元数的乘法不适合乘法交换律，这对人们思想是一大冲击，数的运算定律是天经地义的观念动摇了，有人把四元数的发现与群论的产生一起称为代数学的解放（The
liberation of algebra）。
早在十七世纪，莱布尼茨（Leibniz 1646—1716）就设想要把“一切正确的推理归纳为一种运算”，找出逻辑连接词如“与”或“非”作为运算，把逻辑看成连接词的运算。莱布尼茨的这个理想在两个世纪以后才由布尔（G.Boole 1815—1864）实现，1854年，布尔发表《思维规律研究》，成功地将形式逻辑归结为一套代数演算，形成今天的布尔代数（逻辑代数）。布尔代数的创立具有重大意义，它打破了能作运算的只能是数的观念，运算不但能对数进行，也能对句子进行，能够进行运算的对象突破了传统观念。
此外还有1844年，格拉斯曼（H.G Grassmann 1809—1877）引进了N维空间，开始了高维空间几何的研究，大大拓广了欧氏几何这种唯一的空间形式的几何，使数学的研究对象发生了更深刻的变化。
第三，对数学基础的研究.1800年前后，数学的主要内容是数学分析，而且数学分析也是当时整个数学的基石。也正是在这个时候，数学家们开始关心分析庞大分支在概念和证明中不严密性：函数概念本身就是不清楚的，使用级数而不考虑其收敛性已经产生悖论，用三角级数来表示函数的论战又进一步引起了混乱，事实上，对导数和积分的基本概念，从来就没有恰当地定义过1826 年挪威数学家阿贝尔(Abel)在一封信谈到：“人们在分析中确实发现了惊人的含糊不清之处，这样一个完全没有计划和体系的分析，竟有那么多人能研究过它，真是奇怪，最坏的是，从来没有严格地对待过分析，在高等分析中上有很少几个定理是用在逻辑上站得住脚的方式证明的，人们到处发现这种从特殊到一般的不可靠的推理，而非常奇怪的是这种方法上导致了极少的几个所谓悖论。”
十九世纪初数学家决心从这种混沌中整理出一个秩序来，开始了大规模的“重建基础”的运动，在这当中涌现了许多优秀人物，其中最著名的有柯西(Cauchy),威尔斯特拉斯(Weierstrass),波尔查洛(Bolzano),波雷尔(Borel),戴德金(Dedekind),康托(Cantor)等等，他们从不同的方面出发，将数学分析建立在实数的基础上。
随着1883年康托Cantor集合论的建立，整个数学就建立在集合论的基础上了，在十九世纪下半叶，随着集合论悖论的产生，（罗素(Russell)悖论：设
=｛x：x
,则若A
若
｝）整个数学基础又发生了危机，从而引起了一场声势浩大的“公理化”运动，这场运动的实质在于“数学是什么？它应该建立在什么基础上？”这场运动使得当时世界上最伟大的数学家希尔伯特(Hilbert)、庞加莱(Poicare).布劳威尔
(Brouwer)等人都参加了这一混战，不同的学派有不同的观点，当时主要有三大派别：逻辑主义学派，直觉主义学派和形式主义学派。
以逻辑学家、哲学家罗素(Bertrand Russell 1872-1970)和弗雷格(Frege)为首的逻辑学派认为：数学可以从逻辑推导出来，因而数学只不过是逻辑学的一个分支，以至于罗素说：“数学，可以定义为一种科目，我们决不知道其中说的什么，也不知道所说的是真的还是假。”
(罗素(Bertrand Russell 1872-1970) 现代英国数理哲学家)认为:纯粹数学完全包含这样的论断:如某命题对于某些事物是真的,那么另外的某命题对于那些事物就是真的.它根本就不讨论第一个命题是否确实是真的,也不管所假定的那些事物是否是真的.……
如果我们的假设是关于一般事物,而不是某些特殊事物的话,我们的推论就构成了数学.这样的数学可以定义为一种科目:我们决不知道其中说的是什么,也不知道所说的是真还是假.
数学是一种莫名其妙的科目.)
以克洛内格(Kronecker)和布劳威尔(Brouwer)为首的直觉主义认为：除了自然数是神造的以外，其余的东西都是人为的、可疑的，主张任何定义、证明都必须是构造性的，在认识论上他们只承认亚里士多德(Aristotle)的潜无穷，在方法论上他们否认无穷集上的排中律，从而也否认反证法和纯粹的存在性证明。
以哥廷根学派的领袖希尔伯特(Hilbert)为首的形式主义认为：数学思维的对象就是符号本身，符号就是本质，它们并不代表理想的物理对象，公式可能蕴涵着直观上有意义的叙述，但这些涵义并不属于数学，数学本身就是一堆形式系统，在每个系统中形式‘表达式’都是用形式变换从另一种形式得到的。
以上三派互不相让，互相攻击，但他们各自在数学上做出了许多重要的贡献，例如：
逻辑主义学派的罗素(Bertrand Russell 1872-1970)完善了数理逻辑，为电子计算机的发展奠定了基础，但这一派也有其致命的弱点，首先，约化公理（约化公理：任何悖论均可约化为1=2）就激起了强烈的反对，并且逻辑学派设计的形式化，在任何真正的意义上，显然没有表现数学，它给我们显示外壳而不是数学的内核。
直觉主义学派的布劳威尔(Brouwer)把数学思维理解为一种构造性的程序，而对于出现在数学系统中不定义的概念，只要它确实有用，就作为直观的理解，而他们也曾致力于构造基础上的一种新的数学，并且也成功将微积分带着它的极限程序拯救出来了，虽然他们的构造十分复杂。他们还重新构造了代数和几何的初等部分。至于直觉主义的代表人物之一的法国数学家庞加莱(Poicare)更是在数学上立下了不朽的功勋，但是他们也遇到了几乎是不可逾越的困难—构造越来越复杂以至无法继续构造下去！
以希尔伯特(Hilbert)为首的形式主义者主张给出一组公理，然后在此基础上推出全部数学，从而只要证明这组公理系统的无矛盾性和完备性，这样就可将整个数学大厦建立起来了，而且希尔伯特(Hilbert)本人就已经将欧几里德(Euelid)几何系统建立了完美的Hilbert公理体系，并将这组公理的无矛盾性和完备性约化为算术系统的无矛盾性和完备性了。遗憾的是：正当这个数学世界的泰斗希尔伯特(Hilbert)在向全世界提出著名的23个数学问题的时候，年轻的捷克斯洛伐克的数学家歌德尔（Godel）上场了，他提出了著名的“歌德尔（Godel）不完备性定理”，它指出：不仅是数学全部，甚至只是数学任何一个有意义的分支，也不能用一个公理系统概括起来，并且不能用增加公理的方法补充完备。也就是说，任何一个算术系统中一定存在一个命题属于这个系统，且在这个系统中既无法证明也无法否定这个命题的正确性，这就从理论上粉碎了希尔伯特(Hilbert)的梦想。
这样，1930年以后的全部数学的发展留下了两个没有解决的大问题：
1）
不加限制的经典分析与集合论的相容性；
2）
在严格直观的根基上去建立数学或者去确定这种途径的限度，
这两个困难的根源都在于无穷集合和无限程序中所用到的无穷, 无穷这个概念使古希腊人在无理数上造成了困难，而使他们用穷竭法躲开了它，从那以后，无穷这个概念一直是争论的题目，并使威尔(Weyl)说道：数学是无限的科学。
这时候，一群年轻的法国布尔巴基(Bourbaki)学派诞生了，他们以初生牛犊不畏虎的大无畏精神，向老一代数学家提出了挑战。他们以著名女代数学家诺尔(Noether)和数学全才希尔伯特(Hilbert)发明的工具（抽象代数）和方法（公理化方法），提出了“结构论”的思想和方法，他们认为，数学就是结构的科学，他们撰写了题为《数学原本》的巨著，到目前为止，《数学原本》已出版了三十余卷，还没有写完，布尔巴基(Bourbaki)学派认为，数学有三种主要结构，称为母结构：代数结构（群、环、域.格等），序结构（全序、偏序）和拓扑结构（邻域、连续、极限、连通性、维数等），还有一些子结构，如线性代数中的线性结构等等，这些结构的不同的组合就形成五光十色的数学世界，布尔巴基(Bourbaki)学派花了五十多年的时间，对二十五个世纪以来的数学作了详细的归纳整理，统一了绝大多数的数学名词，成为当代最有影响的数学学派，但是尽管如此，布尔巴基(Bourbaki)学派仍然不能统一全部数学，例如，古老的数论中的素数理论，布尔巴基(Bourbaki)就无法将它纳入任何一个结构中去，这是因为迄今为止，还没有发现素数的任何结构。
随着人类的进步，科学的发展，电子计算机的出现开辟了人类历史的新纪元，人类获得知识的速度成倍增长，这使得人类原来无法实现的梦想成为显示，四色定理的证明（1976年美国大学生黑肯用三台计算机用一千二百多个小时，完成了两百多亿个逻辑判断，终于完成了四色定理的证明），开创了机器证明的先河，引起了人们高度的重视，布劳威尔(Brouwer)不动点定理的计算机实现，使得直觉主义重新抬头。
由于上述一系列具有革命性的变化，使得恩格斯的论断已经不能囊括日新月异的各种各样的数学对象了，事实上，在恩格斯于1876—1877年著《反杜林论》时，非欧几何和多维空间几何学刚刚在科学家之间得到承认，群论刚刚形成，而数理逻辑仅仅萌芽。所以，可以理解，数学发展的新阶段的特点不可能由恩格斯详细地描述出来。
从十九世纪数学的变革直至现在，数学研究对象的重大改变的主要特征表现在这样几个方面。
A．首先是数量关系有很大的突破，数学大量的研究对象不是数量关系，如群与各种代数结构等等。
B．其次是空间形式与数量关系之间的界限模糊了，高维空间尤其是无穷维空间的出现已大大地突破了以前人们所理解的那种欧氏几何三维空间的概念。事实上，多维空间，是物质运动形式的自由度，无穷维空间是指物质运动形式的自由度是无穷的，而不是传统意义上的空间。很多空间概念，如度量空间，拓扑空间在实质上是用几何术语描述数量关系，空间形式与数量关系通过各种各样的途径得到了统一。
C．公理化方法的出现，使哲学家、数学家对数学研究对象的认识进入一个新的时期，公理化方法最早应推欧几里德(Euelid)的《几何原本》。非欧几何、群论产生后，公理化方法渐渐受到人们的重视，发展到二十世纪风靡一时，被有些人认为是唯一严格的方法。非欧几何就是改变欧氏几何中的平行公设（公理）而得到的，由此表明公理系统有很大的任意性，从而在纯数学理论的研究中，使数学带有很大的任意性，令人关注的一个问题：二十世纪数学发展有相当一批内容，不考虑是否是客观抽象，不讨论具体内容，一切以公理为前提，进行随意改变一个公理系统中的一条或几条构造出一个新的公理系统，找出一个新的问题象游戏般的，只注意逻辑关系的研究，在这种状况下，有人把数学看作是数学家的任意创造，认为数学研究的对象因人而异，叫人莫衷一是。歌德尔（Godel）不完备性定理的出现，不仅使希尔伯特(Hilbert)美好的梦想破灭，它在哲学上也有重大意义，它从理论上宣告全部数学公理化是不可能的！从认识论的角度可以知道公理并不是研究的开始，而是进行一段时间的研究后成果的总结，人们不可能有一天得到全部数学真理，真理只能逐次逼近。
因此，我们认为，从当今数学发展的现状与趋势来看，数学的研究对象是客观世界的和逻辑可能的数量关系和结构关系。