数学分析教案
教师：曾达聪
第一章 极 限
１数列的极限。
２ 收敛数列（性质：四则运算判别法子序列）。
3 函数的极限。
4函数极限的定理。
5无穷与无穷大。
6 实数连续性（刻化连续性的几个定理）。
7 数列极限
要求：
让学生较深刻地数列极限的定义，能准确地用∑---N译定述求极限的定义及矛盾定义。
能使用∑---N定义证明一些较为简单的数列极限。
一 数列的极限
1 引入：
例1中国代用割圆术定义求圆的周长。
作内接正六边形，周长为p
。等与上面六边形对的弦，作内接十二边形，周长为P
=p
…………
于是得到地一串内接多边形的周长 P
、P
、P
、、、、P
、、、、
由图中可以看出（书上P
图2.17当n越来越大时，P
越接圆的周长C。
因此古人得到：
定义：当n无限增大时，若圆的内正多边形的周长所组成的数列{P
}无限越接近常数C，则称此C为圆长。
例2
数列{
}的极限。
（1） 可以看出这个数列项标着n增大时是向1靠近的。
（2） 这个靠近越来越趋势是稳定的。
总结：当n无限增时，数列的对应项有一个稳定变化趋势：无限地接近1,1称为{
}的极限。
n无限增大时，a
无限接近于1，即是：n无限增大，对应的a
与1的距离无限地小。再进一步“数字化”这外事实：就是指出当n无限增大时对应的a
能满足使
a
-1
越来越小（可以任意地小，只要n取得足够大）而且保持这种变化的趋势。
因此，我们可以从上列的描述中得出其严格的数学描述：
∑>0，从数列{ a
}某项a
后所有项a
都能有
a
-1
<Σ,再简化一些,可用三角法刻化:
∑>0 
N 
n>N , 有
－１
＜∑， 这时称1为数列{
}的极限.
记limt
{
}=1.
2 数列极限的定义：
（1）
数列极限的定义：设数列{ a
}，
a
，
∑>0 (自然数) 
N 
n>N, 有
a
－a
＜∑
则称数列{ a
}以a为极限,定义为:limt
a
=a
这时称数列{ a
}为收敛数列，若数列不收敛，则称数列发散
让学生用逻辑语言描述数列发散的定义：
＂
a
，
N 
n>N 有 
a
－a
∑
”
（2）
数列{ a
}收敛于a的定义：让学生写其矛盾的定义。即：
总结：见书P
两个对比表.
（3）
数列收敛于a的几何意义：
:limt
a
=a 
∑>0 
n>N………..
即表示：无论多么小的正数，当我们把n任意大时，某个N 后所有项，都有必定进入开区间中(a-∑和a+∑)并且一进入就不出来了。
（4） 关于定义的几点说明：
1> 任意经定义的正数,是数列由定性描述轻入定量描述的关键.
2> 另一方面,有绝对的任意性,这种才可能刻化:“无限趋近”。
3> 又有相对性同立性，从上面所用的N，即能考其“趋近的程度”。
因此
Σ的二重性，反应了极限的“过程”和“程度”两方面原因。
4>任意 ∑是任意小, 它们在形式上差别,但在意义中起作任意小的作用,因有时我们证明数列也可以达到 :limt
a
=a的目的。
（5）
5>Σ主要是指任意小,当Σ很大时,不能说明极限中“无限趋近”这地特点。我们在定义中主要是指比较小的，因此在证明极限时，有将限在一个较小的范围内，例如
…… 但这种限制 对它的任意性并影响，因为对较小的 
a
－a
＜∑ 是分明成立。
1>
关于N;
a. 定义中强调自然数N的存在性，这个N是根据，可以不用即n=n/∑
b. N 存在位不唯一，因为定义中要求
n>N ，有
a
－a
＜∑完全可取n1>N作为定义中N，这时
Ｎ＞Ｎ１，当然也有
a
－a
＜∑，这时取Ｎ１为定义中的＂Ｎ＂也是可以的．
例如：limt
=0, 取∑=1/100 N=100, 
n>100,
< ∑, 例如N1=1/101,N>101,
=1/n<1/101<1/100
也成立，由此可想Ｎ存在但不唯一，存在Ｎ１>N却可作为定中的＂N＂．
二 例
例１．
证明limt
＝１
分析：由定义找出Ｎ，
n>N，
－１
<∑，即可用分析法解决满足条件中的Ｎ即可．
证明：∑＞０ ＊＊＊（限定０＜∑＜１／２＝＊＊＊＊
要使
－１
＝
< ∑ 只须使 n+1>1/∑ n>1/∑
-------分析法。
取Ｎ＝（１／∑－１）当n>N 有
－１
＝１／n+1< 1/N+1<∑---综合法。
例２．
证明 limt
＝０ 
＞０ （记住极限）
证明：
∑＞０ （０＜∑＜１
要使不等式 
－０＝
＜∑
只须使 n
>1/∑
n>(1/∑)
= ∑
取n= 
∑
<