第一章 仿 射 几 何 学

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在这一章里，将对仿射几何学作初步地介绍，作为从欧氏几何学过渡到射影几何学的桥梁。

§１.１　平行射影与仿射对应

一、两种情况下面的仿射变换

１．直线到直线的仿射变换

（１） 直线到直线的透视仿射

①定义：直线a上面的任意一点通过这种映射方式，都能够在直线b上面找到它的对应点，

　　　　　我们把这种一一对应的关系，叫做直线到直线的仿射变换。记为T，则T(A)=A’（即直线a上面的一点A在经过一个透视仿射后，它在直线b上的对应点是A’）

把a上的点Ａ、、称为原象点，把b上的点Ａ’、Ｂ’、Ｃ’称为映象点

　　　　②透视仿射的决定因素——方向l

　如果方向l改变了，那么直线a上的点在直线b上的映象点也随之改变。所以，我们说透视仿射是由方向 l来决定的。

　　　　③对应点的连线互相平行

　　　　　　这是透视仿射的判别方法。

（２） 直线到直线的仿射变换

首先来看两个透视仿射的情况：设方向l₁所决定的直线a到直线a’的透视仿射为

T₁,而方向l₂所决定的直线a’到直线a’’的透视仿射为T₂ 。

① 定义：直线a上面的任意一点通过两回透视仿射，都能够在直线a’’上面找到它的对应点，我们把这种一一对应的关系，叫做直线到直线的仿射变换。记为T：T=，则T(A)= T₂ T₁ (A)= T₂ (A’)=A’’。

② 仿射是由有限回的透视仿射组成的，或者说仿射是透视仿射链。

③ 透视仿射是最简仿射。

　　思考：反过来，仿射是透视仿射吗？不是。请举出反例。

２．平面到平面的透视仿射

同样，要研究第二种情况——平面到平面的仿射变换，也要先研究它的特殊情况：平面到平面的透视仿射。

①定义：平面α上任意一点通过这种映射方式，都能够在直线β上面找到它的对应点，

　　　　我们把这种一一对应的关系，叫做平面到平面的透视仿射。记为T，则T(A)=A’（即平面a上面的一点A在经过一个透视仿射后，它在平面β上的对应点是A’）

　　　　②平面到平面的透视仿射将点映射为点，将直线映射为直线。

　　　　③平面到平面的透视仿射是由有限回的透视仿射组成的。

　　下面针对透视仿射这种特殊的仿射变换，再来讨论一下它还有哪些性质。

二、 透视仿射的性质

　１．直线到直线的透视仿射

有一个自对应点——两直线的交点。

思考：若两直线平行，有无自对应点？

　２．平面到平面的透视仿射

① 有一条自对应轴——两平面的交线，它是自对应点的集合。

② 对应直线相交于对应轴，或都于对应轴平行。

③ 同素性：二平面间的透视仿射将平面上的点映射为点，将直线映射为直线。这里的几何元素点与直线保持了原先的种类，称透视仿射保留同素性。

④ 接合性：我们把点在直线上和直线通过点，称为点与直线相接合。对于原象，点Ａ在直线a上，点与直线相接合。经过透视仿射后，点A的对应点A’在直线a的对应直线a’上，即点与直线仍然相接合。

§１.２仿射不变性与不变量

仿射几何学研究的是仿射变换群下图形的不变性质，而其中的仿射不变性与不变量是主要的研究对象。

一、仿射不变性——同素性、接合性、平行性

１．平行性

设a、b是平面内的两条平行线，a、b在平面π’内的对应直线是a’、b’,　要证a’∥b’。

反证法。若a’与b’不平行而是相交于一点P’，且设P为P’的原象点。这里P’既在a’上又在b’上，由于仿射保留接合性，那么P既在a上又在b上，即是说P是a与b的交点，这与题设a∥b矛盾，所以a’∥b’。

注：平行四边形是仿射不变图形

二、仿射不变量——简比、两平行线段之比、一直线上任两线段之比、两图形的面积比

１．简比

（１） 定义：设A,B,C为共线的三点，这三点的简比(ABC)定义为两个有向线段的距离比：

(ABC)＝

注：①距离是欧氏几何的基本不变量，而距离比是仿射几何的基本不变量。

②两个顺序：一个是数学符号中字母的顺序——确定有向线段的比值。

　　　　　　一个是直线上点列的顺序——确定有向线段的距离和方向。

③两种情况下简比的植：

　当C在线段AB上时，(ABC)＜０。

　当C在AB的延长线上时，(ABC)＞０。若C是AB的无穷远点，则(ABC)＝１。

④设C点分割线段AB的分割比为λ，则，简比与分割比互为相反数。

（２）简比是仿射不变量

不管是直线到直线的透视仿射，还是平面到平面的透视仿射，对应点的连线互相平行，由平行线等分线段定理：，即(ABC) ＝(A’B’C’)。进而，经过透视仿射链，在仿射变换下简比也保持不变。

２．两平行线段之比

E

设AB 与CD是平面π内的平行线段，由于仿射保留平行性，所以它们的对应线段A’B’∥C’D’，下证：。

B

连接AC、A’C’，分别过D、D’作AC、A’C’的平行线，交AB、A’B’于E、E’。由于平行四边形是仿射不变图形，因此仿射变换将共线点E映射为共线点E’，容易看出E’是 E的对应点。

∵简比是仿射不变量。

∴一直线上的三个点A、E、B和它们的对应点A’、E’、B’有：（AEB）＝（A’E’B’）

即。

２．任两线段之比

一直线上A、B、C、D４个点中有两线段AB、CD，其对应着另一直线上４个点A’、B’、C’、D’ 中的两线段A’B’、C’D’。下证：。

还是利用简比的不变性，找出2组简比的值相等：(ACB)(BDC)=(A’C’B’)(B’D’C’)

３．二图形的面积之比

（１）三角形

　　①引理——在透视仿射下，任何一对对应点到对应轴的距离之比是一个常数k。

注：常数k随给定的透视仿射而定。透视仿射不同。A在平面β内的对应点A’也就不同，从而这个比例关系也不同。

②三角形的面积之比是仿射不变量

（Ⅰ）先对仿射的特殊情况——透视仿射证明这个结论，再推广到一般仿射。

１． 特殊情况：当中的两个顶点B,C在对应轴g上时，即两个对应的三角形有一条公共边在对应轴上。由第三对对应点A和A’在两个三角形各自的平面上向对应轴g作垂线AA。和AA’。 ，则

　２^。一般情况：三对对应边分别交对应轴于X、Y、Z三点。把阴影部分的面积表示为有一条边在对应轴上的三角形的组合：Ｓ_△ABC=Ｓ_△AＸＹ＋Ｓ_△ＢＸＺ－Ｓ_△ＣＹＺ