例题 （复变函数）
1. 证明不等式
（1）
（2）
证明：（1）设设ｚ＝ｘ＋
，则 
＝
故 
同理: 
(2).由
＝（
＋
）（
＋
）
＝
·
＋
·
＋
·
＋
·
＝
＝
（
·
） 由（1）≤
＝
2. 函数W＝
把Z平面上的下列曲线度为W平面上的何种曲线？
（1） 以原点为心，2为半径，在第一象限里的圆弧；
（2） 倾角
的直线；
（3） 双曲线
－
＝4；
解：设ｚ＝
ｗ＝
因为W＝
＝
故，
＝
，
故得.（1）当
＝2时，
＝4;0<
时，0<
.
故以原点为心.2为半径.在第一象限里的园弧变为W。平面上以原点为心.4为半径.在上半面的园弧。
（2）倾角
的直线；即为两条射线: 
及
当
时经变化得
为射线L.
当
时经变化得
也是一条射线.且与射线L重合。
3. 证明不等式
（1）
（2）
证明：（1）设设ｚ＝ｘ＋
，则 
＝
故 
同理: 
(2).由
＝（
＋
）（
＋
）
＝
·
＋
·
＋
·
＋
·
＝
＝
（
·
） 由（1）≤
＝
4. 函数W＝
把Z平面上的下列曲线度为W平面上的何种曲线？
（1） 以原点为心，2为半径，在第一象限里的圆弧；
（2） 倾角
的直线；
（3） 双曲线
－
＝4；
解：设ｚ＝
ｗ＝
因为W＝
＝
故，
＝
，
故得.（1）当
＝2时，
＝4;0<
时，0<
.
故以原点为心.2为半径.在第一象限里的园弧变为W。平面上以原点为心.4为半径.在上半面的园弧。
（2）倾角
的直线；即为两条射线: 
及
当
时经变化得
为射线L.
当
时经变化得
也是一条射线.且与射线L重合。
(3)设 W=u+
.因W=
=
-
+
故 u=
-
，υ=
因
-
=4 故u=4 ，又当Z在双曲线
-
=4上变动时υ=
在（-∞，+∞）上变动。
因此.Z的象W=U+
是这样的点：其实部U恒为4.其实部υ=
∈（-∞，+∞），因此满
足上述条件的点所成立之集是平行于虚轴的一条直线U=4
5. 讨论函数
的可微性与解析性
解：在Z=0点
因 
，
故
在Z=0点可微。但对任何
Z≠0
因
=
=
因此. 
在任何Z≠0处都可微。
因此. 
在Z=0点不解析.故在全平面处处不解析。
4.计标
c:
=p. n为整数
解：设 z-a=
,0≤θ≤2л
则 
,
=i
故
=
－
当 n=1时.上式=
=2лi
当n≠1时. 上式=
=
=0
故 
=
（5），计标 
，C为包围a的任意简闭曲线。
解：作 
=r,且
全含于c的内部. 则