《离散数学》授课讲义（部分）
命题逻辑和谓词逻辑是数理逻辑的基本内容，数理逻辑是一门用数学方法研究推理规
律的学科，即引进一套符号体系将推理变成数学演算，这是数理逻辑的指导思想。
数理逻辑不仅能训练和培养良好的思维能力，而且与计算机科学的联系日益密切，在计算机科学的硬件和软件理论和设计中发挥了巨大的作用，在计算机科学的应用中有着极广阔的前景。
第六章
命题逻辑
第一节
命题与联结词
教学内容：命题与联结词，原子命题和复合命题的概念
教学知识点及基本要求：理解命题的概念，会判断语句是否命题，会将命题符号化；要求掌握六个联结词的真值表。
难点：命题符号化，理解条件联结词与自然语言的区别。
教学中采取以下措施化解学生难点：
① 补充一些与学生实际密切相关的例题，使学生易于理解抽象的概念；
② 增加命题符号化的例题。
一. 命题
1. 自然语言——日常使用的语言。缺点：模棱两可，含糊多义。
目标语言——一种形式化的语言，有单一，明确的含义。
由于数理逻辑是用数学方法研究抽象思维的规律的学科，抽象思维的中心是推理，推理是由一个或几个判断推出一个新判断的思维形式，其基本要素是表达判断的一种陈述句。因此有：
2. 命题
命题——是具有判断内容的语句,它是目标语言的基本元素。命题用大写字母P,Q,R,…表示,
如P：今天上午十点下雨。P表示“今天上午十点下雨。”这个命题。
命题的真值——一个命题可赋予一个值，称为真值。真值只取“真”或“假”两种，记为“1”（T）或“0”(F).
※
(1) 命题是语句，一般表示为陈述句，如P142例句（1）～（4）
（2）命题中含有判断内容“…是…”，并且对判断的内容可确定真值，否则不能称为命题。如P142举出的疑问句，祈使句，感叹句等不是命题。
3. 命题变元——用大写英文字母表示任意命题。
※
命题变元没有确定的真值，只有用具体命题代入时，才有确定的真值。如P是命题变元，用“雪是黑色的”代入，P表示命题：雪是黑色的，且P的真值为F。
二．.命题联结词：
1．否定词
：
表6.1.1
|
P |
|
|
T |
F |
|
F |
T |
设P为一命题，P的否定是一个新的命题，记作
。
若P为T，
为F；若P为F，
为T。“
”
表示命题的否定。真值表如表6.1.1：
例2．（a）P：4是质数。
：4不是质数。或4是质数，不是这样。
（b）Q：这些都是男同学。
Q：这些不都是男同学。（翻译成“这些都不是男同学”是错的。）
2．合取词
：
表6.1.2
|
P Q |
|
|
F F |
F |
|
F T |
F |
|
T F |
F |
|
T T |
T |
如果P和Q是命题，那么“P并且Q”也是命题，记为
，称为P和Q的合取，读作“P且Q”。
的真值为“同真则真，其余为假。” 真值表定义如表6.1.2：
例3 设命题P：“50是5的倍数”，
命题Q：“50是7的倍数”，
则命题
为“50是5和7的倍数”。
显然P是真命题 ，Q是假命题，所以
是假命题。
例句 见教材P143
※ 合取词类似于自然语言中“与”“并且”，但不完全相同。数理逻辑中，无论P与Q两命题内容有无联系，
都有意义，并且有确定的真值。
3．析取词
：
表6.1.3
|
P Q |
|
|
F F |
F |
|
F T |
T |
|
T F |
T |
|
T T |
T |
如果P和Q是命题，则“P或Q”也是一命题，记作
，称为P和Q的析取，读作“P或Q”。
的真值为“同假则假，其余为真。” 真值表定义如表6.1.3：
例句：见教材P144
※ 析取词类似于自然语言中的“或”，但只表示“可兼
或”，如P144例句
例4 A：今晚我写字，B：今晚我看书。
：今晚我写字或看书。
4．排斥析取：如果P和Q是命题，则P与Q的排斥析取也是命题，记作P
Q，P
Q的真值为“不同为真，相同为假”。真值表定义如表6.1.4 ：
表6.1.4
|
P Q |
|
|
F F |
F |
|
F T |
T |
|
T F |
T |
|
T T |
F |
P145例1
5. 条件词
：
如果P和Q是命题，那么P对于Q的条件称为P蕴涵Q，记为
，读作“若P则Q”即“P是Q的必要条件”。
运算对象P叫做前件，而Q叫做后件。
的真值为 “前真后假为假,其余为真。” 真值表定义如表6.1.5：
例句见教材P145
例5． （a）P：天不下雨，Q：草木枯黄。
：如果天不下雨，那么草木枯黄。
（b）R：G是正方形，S：G的四边相等。 表6.1.5
|
P Q |
|
|
F F |
T |
|
F T |
T |
|
T F |
F |
|
T T |
T |
：如果G是正方形，那么G的四边相等.
（