第二章 插值法
[插值法的基本思想和方法]：已知函数y=
(x)在[a,b]上n+1个点x0,x1….xn的函数值y:= 
(xi) I=0,1,2,….n,但y=
(x)的确表达式不知道或相当复杂。设法建立一个函数μ(x),使μ(x)=y(i),进一步
(xi)=
(xi), I=0,1,2,…n-1在实际应用中以 μ(x)替代
(x)，此即插值法。称
μ(x)为
(x)的插值函数，称xi，I=0,1,2,…n,为结点。
§1，拉格朗日插值
一，线性插值（以直代曲）
过点（xi, 
(x0)）,(xi+1, 
(xi+1)作直线li(x)=
I=0,1,2,…n-1令μ(x)=
,称μ(x)为过点（xi，
(xi)）的线性插值。
μ(x)具有性质：
（1）， 
（2）μ(x)在[
]上连续。
（3）μ(x)在结点xi，I=0,1,2,…n,处一阶寻一不存在（不光滑）
例
： 又
所以 1=
=
得 
故
=
；同理，可过点
的抛物线
=
过点
的抛物线
=
则过点
的抛物线为
验：（1） 
次数不超过2显然， （2）
I=k-1, k, k+1 （由二次插值即可推广到n次插值）
三 ， n次插值
定理1：已给区间[a,b]上n+1个互异的结点，a=
设 
则对任意实数
是n+1过个数据点
的次数不超过n的多项式，且具有唯一性。称
为拉格朗日插值多项式，称
为基本插值多项式。
证：
是n次多项式，故
次数不超过n，又
,故
=
过数据点
）下证唯一性：设另有
过数据点
n,
且次数不超过n, 取
，
，而
次数也不超过n，今
有n+1个零点（根）所以
只能是零多项式，即
,
,此唯一性。
定理2（n次插值误差）
已给[a,b]上n+1个互异结点a=
，
在[a,b]上有n+1阶导数，且
,
是过n+1个数据点, 
的次数不超过n的插值多项式，则对任意
存在
，使得
，其中
。
证：（注意罗尔中值定理，
在） [a,b]连续，（a,b）可导，则至少存在一点
，使有
.
任取
1、
若
则
，
2、
设
，作辅助函数
，显然，
关于t在[a,b]上有n+1阶导数（注意x取定后, 
是常数）
，
应有
（其中
所以，次数不超过n）考查
在[a,b]上的零点。别
而
，
在[a,b]有n+2个零点
和
从小到大排列
，得[a,b]上n+1个小[
]，
这n+1个点
又可得n个小区间[
]，
；又
在[
]上满足罗尔定理条件，则至少存在一点
，使
又得n个点
如此下去，用n次罗尔定理，则至少存在一点
使
、、代入（i）
即得
，
证毕。
例：（注意到插值误差
，n越大，误差越小）。
对
在区间[-1，1]上作拉氏插值多项式，取结点
逼近效果如图。中间部分较好，越靠近端点效果越差，事实上可证明当
时，
只能在1
。内趋于
的对应点的值。
问题：拉氏插虽然足够光滑，但上例情况不容忽视。于是人们又转而研究分段插值，且尽可能使结点足够光滑。
§2，分段插值。
一，
分段线性插值（前已述）
二，
两点带导数插值。
定理1：已给结点
，求作一次数不超过了的多项式
使之满足条件。
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