橡皮几何学”

      十八世纪末，德国数学家康托创立了集合论，使它成为整个数学的基础。人们发现研究集合不能只研究一些孤立的、相互无关的元素，集合元素之间常常互相有关系。例如：研究数列{ an }（n=1,2,3,…），当n趋于无穷大时{an }趋于数a，就不能只研究数列和数a的集合{a ,a1 ,a2 ,a3 …}，还要研究它们之间的关系——距离。需要考察当n→∞时，两点间的距离|an-a|是否趋于0（图42）。

     当时，由于对函数集合的研究，大大地促进了对集合元素间关系的研究。法国数学家弗雷谢把直线上两点间距离的概念作了推广，并且应用到一般的集合上，在一般集合的元素之间建立了一种广义的距离关系，这种关系后来称为“拓扑关系”。

    1902年，德国数学家豪斯道夫进一步用公理化方法推广了这个广义距离关系，用领域的概念代替了距离，得出了一套完整的理论系统，现在，这种在其元素间建立了领域关系的集合称为“拓扑空间”。

    在拓扑空间的基础上，人们又引进了拓扑变换和拓扑等价的概念。拓扑变换是一一对应、不改变点与点的邻近关系的连续变换，两个集合（领域关系）如果能够用拓扑变换互相变化，就称他们是拓扑等价的。例如把一个橡皮圈，（当然可看作点的集合）变成椭圆形，正方形、五角星形、花瓣形等等（图43），这些变换都是拓扑变换。因为它们既是一一对应，又是连续的变化，没有改变点与点之间的邻近关系，所以，这些图形都是互相拓扑等价的。但是图44中的两个变换就不是拓扑变换。第一个变换把A、B两个点变到一起去了（即互相无限邻近），而在圆圈上A、B两点本来是分开的。第二个变换得到的直线，它的两个端点在圆圈上原是紧靠一起的（即互相无限邻近），变换后却分开了。这两个变换都不是一一对应，而且改变了点与点的邻近关系，所以不是拓扑变换，这些图形当然也就不是拓扑等价的了

    同理，皮球右以用拓扑变换变成粉笔盒、梨子和大象的形状（图45），但是却不能拓扑变成救生圈（图46）。因为救生圈中间有个大“洞”。

    从这些例子可以看出，只要两个几何图形能够进行橡皮那样的拉扯、压缩的相互变换，这们就是拓扑等价的，因此，有人常常把拓扑学称为“橡皮几何学”。但是要注意，两个互相拓扑等价的几何图形并非总能用橡皮似的拉扯、压缩等方法互相变化。图47中两个拓扑等价的橡皮圈，就无法用拉扯、压缩来互相变化。

    总的来说，拓扑学就是研究拓扑空间几何图形的拓扑性质（指在拓扑变化下不变的性质）的几何学。而为种以康托集合论为基础了展起来的拓扑学称为点集拓扑学。点集拓扑学与组合拓扑学的差别，通俗说来就是：点集拓扑学以集合元素? ——点为几何图形的基本研究单位；而组合拓扑学把几何图形当作一些较小构件的组合来研究，这些构件不一定是点。它 们各自的名称也由此而来。