新奇美妙话“拓朴”

    说拓扑学“新奇”，不只是指“拓扑学”这个名词相当新奇，而主要是指拓扑学本身而言。拓扑学的确是“新”，数学家们提出拓扑学这个词才不过一百多年，1848年，曾受业于高斯的德国人里斯丁才写出了第一本关于拓扑学的书；至于在大学数学系里开设拓扑学课程，那是最近三、四十年的事了。拓扑学也的确是“奇”，下面请你亲自动手做几个实验，来体会一下拓扑学之“奇”吧。

    裁四张长纸条。用毛笔把第一张纸条的两面全部涂黑。如果不准毛笔经过纸条边缘，那么涂完一面以后，必须提起毛笔,至少让它离开纸条一次，才能涂到另一面。也就是说，要全部涂黑这张纸条，毛笔至少要离开纸条一次。?

　　　  把第二张纸条扭转180度，使A点与D点相接，B点与C点相接，粘合成一个纸圈（图36），你会发现，毛笔不用离开纸面?就可以把它全部涂黑（当然毛笔不准经过纸的边缘）。这是怎么回事？原来这年纸圈只有一个面！请仔细想想，日常生活??中遇到的东西几乎都是有两面个面的：桌面有上面和下面；书包有里面和外面…..第一张纸条也有两个面。要指导有两个??面的东西全部涂黑，而又不准经过边缘，毛笔都必须至少提一下，而要涂黑只有一个面的东西，就不必提起毛笔了。

数学家称这个纸圈为“牟比乌斯带”，因为他是德国数学家牟比乌斯在1858年首次做出来的，牟比乌斯带还有其它?奇妙的地方呢，请你再做一个牟比乌斯带，用剪刀沿虚线把它从中间剪开（图37）。你一定会以为会把牟比乌斯带剪成?两半，得到一个纸圈吧。其实，大大超出你的预料，剪开后竟然只会得到一个纸圈！得到的这个纸圈比原来 的牟比乌斯?带长一倍、窄一半，而且又是普通的有两面纸圈了。

   现在做最后一个“实验”，也是最奇妙、最精彩的“实验”。把第四张纸条扭转360度后粘合起来，沿两条虚线把它剪开，剪出的不是三个分开的纸圈，而是三个一样大小、互相套在一起的纸圈!

多么奇妙啊，拓扑学就要研究这些纸圈，你说拓扑学奇也不奇？虽然拓扑学很新，可是和很多学科一样，根源却很

遥远，这要追溯到1736年欧拉的一个发现。